Geometrische Reihe/Komplex/Konvergenzbeschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

Für jedes ${}z$ gilt die Beziehung

${}(z-1){\left(\sum _{k=0}^{n}z^{k}\right)}=z^{n+1}-1\,$

und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei ${}z\neq 1$)

${}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}z^{k}={\frac {z^{n+1}-1}{z-1}}\,.$

Für ${}n\rightarrow \infty$ und ${}\vert {z}\vert <1$ konvergiert dies wegen Aufgabe und Fakt gegen ${}{\frac {-1}{z-1}}={\frac {1}{1-z}}$.

Zur bewiesenen Aussage