Geometrisches Vektorbündel/Addition/Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $p:V\to X$ ein Vektorbündel über $X$. Zeige, dass die Addition $\alpha :V{\times }_{X}V\to V$ die folgenden Eigenschaften besitzt (es ist zugleich zu zeigen, dass die angegebenen Morphismen existieren).

1. Das Diagramm

   $\begin{array}{cccc}V& \stackrel{\mathrm{Id}\times (N\circ p)}{⟶}& V{\times }_{X}V& \\ & \mathrm{Id}\searrow & \downarrow \alpha & \\ & & V& \end{array}$

   kommutiert, wobei $N:X\to V$ den Nullschnitt bezeichnet.

2. Das Diagramm

   $\begin{array}{cccc}V{\times }_{X}V& \stackrel{\pi }{⟶}& V{\times }_{X}V& \\ & \alpha \searrow & \downarrow \alpha & \\ & & V& \end{array}$

   kommutiert, wobei $\pi$ die Vertauschung der beiden Faktoren bezeichnet.

3. Das Diagramm

   $\begin{array}{cccc}V{\times }_{X}V{\times }_{X}V& \stackrel{\alpha \times \mathrm{Id}}{⟶}& V{\times }_{X}V& \\ \mathrm{Id}\times \alpha \downarrow & & \downarrow \alpha & \\ V{\times }_{X}V& \stackrel{\alpha }{⟶}& V& \end{array}$

   kommutiert.

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