Geordnete Menge/Kategorie/Beispiel

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Man kann ${}I$ als eine Kategorie auffassen, indem man die Elemente aus ${}I$ als Objekte nimmt und für Elemente ${}a,b\in I$

${}\operatorname {Mor} {\left(a,b\right)}={\begin{cases}\emptyset ,{\text{ wenn }}a\not \preccurlyeq b\,,\\\{(a,b)\},{\text{ wenn }}a\preccurlyeq b\,.\end{cases}}\,$

festlegt. Im Fall ${}a\preccurlyeq b$ ist also die Morphismenmenge einelementig, sonst leer. Die Wahl des Paares ${}(a,b)$ als Repräsentant einer einelementigen Menge ist zwar natürlich, aber nicht entscheidend für diese Konstruktion. Die kategoriellen Verknüpfungseigenschaften beruhen auf der Reflexivität und der Transitivität einer Ordnungsrelation (die Antisymmetrie ist für diese kategorielle Interpreation nicht wichtig).