Kategorie/Definition

Kategorie

Eine Kategorie ist durch folgende Daten gegeben.

1. Eine Klasse ${}{\mathcal {C}}$ von Objekten.
2. Zu Objekten ${}M,N\in {\mathcal {C}}$ eine Morphismenmenge ${}\operatorname {Mor} {\left(M,N\right)}$.
3. Zu Objekten ${}L,M,N\in {\mathcal {C}}$ eine Verknüpfungsabbildung

   $\operatorname {Mor} {\left(L,M\right)}\times \operatorname {Mor} {\left(M,N\right)}\longrightarrow \operatorname {Mor} {\left(L,N\right)},\,(\varphi ,\psi )\longmapsto V(\varphi ,\psi ).$

   Diese Verknüpfungsabbildungen sind assoziativ im Sinne von

   ${}V(V(\varphi ,\psi ),\theta )=V(\varphi ,V(\psi ,\theta ))\,$

   (wobei ${}\theta \in \operatorname {Mor} {\left(N,P\right)}$ ist).

4. Für jedes Objekt ${}M$ einen Identitätsmorphismus

   ${}\operatorname {Id} _{M}\in \operatorname {Mor} {\left(M,M\right)}\,,$

   der

   ${}V(\operatorname {Id} _{M},\varphi )=\varphi \,$

   und

   ${}V(\psi ,\operatorname {Id} _{M})=\psi \,$

   für jeden ${}\varphi \in \operatorname {Mor} {\left(M,N\right)}$ und jeden ${}\psi \in \operatorname {Mor} {\left(L,M\right)}$ erfüllt.