Kategorie/Definition

Kategorie

Eine Kategorie ist durch folgende Daten gegeben.

1. Eine Klasse $𝒞$ von Objekten.
2. Zu Objekten $M,N\in 𝒞$ eine Morphismenmenge $\mathrm{Mor}(M,N)$.
3. Zu Objekten $L,M,N\in 𝒞$ eine Verknüpfungsabbildung

   $\mathrm{Mor}(L,M)\times \mathrm{Mor}(M,N)⟶\mathrm{Mor}(L,N),(\phi ,\psi )⟼V(\phi ,\psi ).$

   Diese Verknüpfungsabbildungen sind assoziativ im Sinne von

   $V(V(\phi ,\psi ),\theta )=V(\phi ,V(\psi ,\theta ))$

   (wobei $\theta \in \mathrm{Mor}(N,P)$ ist).

4. Für jedes Objekt $M$ einen Identitätsmorphismus

   ${\mathrm{Id}}_M\in \mathrm{Mor}(M,M),$

   der

   $V({\mathrm{Id}}_M,\phi )=\phi$

   und

   $V(\psi ,{\mathrm{Id}}_M)=\psi$

   für jeden  $\phi \in \mathrm{Mor}(M,N)$  und jeden  $\psi \in \mathrm{Mor}(L,M)$  erfüllt.