Wir wenden die
Picard-Lindelöf-Iteration
auf die Differentialgleichung
-
![{\displaystyle {}y'=F(t,y)=ty\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067399311694987853364b3fc4701a2d0b2c1bed)
mit der Anfangsbedingung
-
![{\displaystyle {}y(0)=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df067a9ab746dab46978f1d3c82baa9024ee0aff)
an
(die Lösung ist
).
Daher ist
.
Die erste Iteration liefert
-
![{\displaystyle {}\varphi _{1}(t)=1+\int _{0}^{t}sds=1+{\frac {1}{2}}t^{2}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea26c0d2cd2f9cc291f0c6cd5b460c92eda1fdb5)
Die zweite Iteration liefert
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi _{2}(t)&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,\varphi _{1}(s)\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,1+{\frac {1}{2}}s^{2}\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}s+{\frac {1}{2}}s^{3}ds\\&=1+{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{8}}t^{4}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d093ddf89ba470676e026200938fa488e11bee4e)
Die dritte Iteration liefert
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi _{3}(t)&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,\varphi _{2}(s)\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,1+{\frac {1}{2}}s^{2}+{\frac {1}{8}}s^{4}\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}s+{\frac {1}{2}}s^{3}+{\frac {1}{8}}s^{5}ds\\&=1+{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{8}}t^{4}+{\frac {1}{48}}t^{6}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18ecb6cb7747394f4beed783161a17acfcbb460)
Dabei stimmt die
-te Iteration mit der Taylor-Entwicklung der Ordnung
der Lösung überein.