Getrennte Variablen/y' ist ty/Picard-Lindelöf/Beispiel

Wir wenden die Picard-Lindelöf-Iteration auf die Differentialgleichung

${}y'=F(t,y)=ty\,$

mit der Anfangsbedingung

${}y(0)=1\,$

an (die Lösung ist $e^{{\frac {1}{2}}t^{2}}$). Daher ist ${}\varphi _{0}=1$. Die erste Iteration liefert

${}\varphi _{1}(t)=1+\int _{0}^{t}sds=1+{\frac {1}{2}}t^{2}\,.$

Die zweite Iteration liefert

${}{\begin{aligned}\varphi _{2}(t)&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,\varphi _{1}(s)\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,1+{\frac {1}{2}}s^{2}\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}s+{\frac {1}{2}}s^{3}ds\\&=1+{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{8}}t^{4}.\end{aligned}}$

Die dritte Iteration liefert

${}{\begin{aligned}\varphi _{3}(t)&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,\varphi _{2}(s)\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,1+{\frac {1}{2}}s^{2}+{\frac {1}{8}}s^{4}\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}s+{\frac {1}{2}}s^{3}+{\frac {1}{8}}s^{5}ds\\&=1+{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{8}}t^{4}+{\frac {1}{48}}t^{6}.\end{aligned}}$

Dabei stimmt die ${}i$-te Iteration mit der Taylor-Entwicklung der Ordnung ${}2i$ der Lösung überein.