Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
-
ein
Vektorfeld
auf . Es sei
eine Anfangsbedingung. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld
stetig
sei und
lokal einer Lipschitz-Bedingung
genüge. In der Picard-Lindelöf-Iteration definiert man iterativ eine
Folge
von Funktionen
-
durch
(dies ist also die konstante Funktion mit dem Wert )
und durch
-
Dann gibt es ein Teilintervall
mit
derart, dass für
die Folge gegen einen Punkt konvergiert
(man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert; es gelten hier auch stärkere Konvergenzaussagen).
Diese Grenzfunktion ist dann eine Lösung des Anfangswertproblems
-
Bei einer
linearen Differentialgleichung
mit stetigen Koeffizientenfunktionen konvergiert dieses Verfahren auf ganz .