Es sei
ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
-
ein
Vektorfeld
auf
. Es sei
eine Anfangsbedingung. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld
stetig
sei und
lokal einer Lipschitz-Bedingung
genüge. In der Picard-Lindelöf-Iteration definiert man iterativ eine
Folge
von Funktionen
-
durch
(dies ist also die konstante Funktion mit dem Wert
)
und durch
-

Dann gibt es ein Teilintervall
mit
derart, dass für
die Folge
gegen einen Punkt
konvergiert
(man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert; es gelten hier auch stärkere Konvergenzaussagen).
Diese Grenzfunktion
ist dann eine Lösung des Anfangswertproblems
-
Bei einer
linearen Differentialgleichung
mit stetigen Koeffizientenfunktionen konvergiert dieses Verfahren auf ganz
.