Picard-Lindelöf/Iteration/Verfahren/Bemerkung

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein reelles Intervall,  ${}U\subseteq V$  eine offene Menge und

$F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Es sei  ${}(t_{0},w)\in I\times U$  eine Anfangsbedingung. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. In der Picard-Lindelöf-Iteration definiert man iterativ eine Folge von Funktionen

$\varphi _{n}\colon I\longrightarrow V$

durch  ${}\varphi _{0}=w$  (dies ist also die konstante Funktion mit dem Wert ${}w$) und durch

${}\varphi _{n+1}(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}F(s,\varphi _{n}(s))ds\,.$

Dann gibt es ein Teilintervall  ${}{]a,b[}\subseteq I$  mit  ${}t_{0}\in {]a,b[}$  derart, dass für  ${}t\in {]a,b[}$  die Folge ${}\varphi _{n}(t)$ gegen einen Punkt ${}\varphi (t)$ konvergiert (man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert; es gelten hier auch stärkere Konvergenzaussagen). Diese Grenzfunktion ${}\varphi$ ist dann eine Lösung des Anfangswertproblems

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w.$

Bei einer linearen Differentialgleichung mit stetigen Koeffizientenfunktionen konvergiert dieses Verfahren auf ganz ${}I$.