Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Teilmenge/Einfache Beispiele/Textabschnitt

Beispiel

Wir betrachten die gewöhnliche Differentialgleichung ${}y'=y$, in der ${}t$ gar nicht explizit vorkommt (solche Differentialgleichungen nennt man zeitunabhängig). Durch diese Differentialgleichung werden Wachstumsprozesse beschrieben, bei denen beispielsweise der Zuwachs gleich der Bevölkerung ist. Gesucht ist also nach einer Funktion ${}y(t)$, die differenzierbar ist und die mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt. Wir wissen bereits, dass die Exponentialfunktion ${}y(t)=e^{t}$ diese Eigenschaft besitzt. Ebenso ist jede Funktion ${}ae^{t}$ mit einem festen ${}a\in \mathbb {R}$ eine Lösungsfunktion.

Wenn der Zuwachs zur Bevölkerung proportional ist, so führt dies zur Differentialgleichung

${}y'=cy\,$

mit einer festen Zahl ${}c$. In diesem Fall sind ${}y(t)=ae^{ct}$ die Lösungen. Bei ${}c>0$ spricht man von exponentiellem Wachstum und bei ${}c<0$ von exponentiellem Verfall.

Beispiel

Wir betrachten die gewöhnliche Differentialgleichung ${}y'=yt$. Gesucht ist also nach einer Funktion ${}y(t)$, die differenzierbar ist und deren Ableitung die Gestalt ${}y(t)t$ besitzt. Hier ist nicht unmittelbar klar, wie eine Lösung aussieht und wie man sie findet. Durch Probieren findet man die Lösung ${}y(t)=e^{{\frac {1}{2}}t^{2}}$.