Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Teilmenge/Einfache Beispiele/Textabschnitt

Beispiel

Wir betrachten die gewöhnliche Differentialgleichung  ${}y'=y$,  in der ${}t$ gar nicht explizit vorkommt (solche Differentialgleichungen nennt man zeitunabhängig). Durch diese Differentialgleichung werden Wachstumsprozesse beschrieben, bei denen beispielsweise der Zuwachs gleich der Bevölkerung ist. Gesucht ist also nach einer Funktion ${}y(t)$, die differenzierbar ist und die mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt. Wir wissen bereits, dass die Exponentialfunktion  ${}y(t)=e^{t}$  diese Eigenschaft besitzt. Ebenso ist jede Funktion ${}ae^{t}$ mit einem festen  ${}a\in \mathbb {R}$  eine Lösungsfunktion.

Wenn der Zuwachs zur Bevölkerung proportional ist, so führt dies zur Differentialgleichung

${}y'=cy\,$

mit einer festen Zahl ${}c$. In diesem Fall sind  ${}y(t)=ae^{ct}$  die Lösungen. Bei  ${}c>0$  spricht man von exponentiellem Wachstum und bei  ${}c<0$  von exponentiellem Verfall.

Beispiel

Wir betrachten die gewöhnliche Differentialgleichung  ${}y'=yt$.  Gesucht ist also nach einer Funktion ${}y(t)$, die differenzierbar ist und deren Ableitung die Gestalt ${}y(t)t$ besitzt. Hier ist nicht unmittelbar klar, wie eine Lösung aussieht und wie man sie findet. Durch Probieren findet man die Lösung  ${}y(t)=e^{{\frac {1}{2}}t^{2}}$.