Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Polynom im Ort/Konstante Lösungen/Aufgabe/Kommentar

Hier haben wir es mit einer scheinbar komplizierten Differentialgleichung zu tun, aber davon lassen wir uns nicht abschrecken, denn die Aufgabe verlangt nur nach den konstanten Lösungen. Konstant bedeutet hier, dass die Lösung nicht von ${}t$ abhängt, sodass die Lösung von der Form ${}y(t)=c$ für gewisse Konstanten ${}c\in \mathbb {R}$ ist. Dementsprechend ist die Ableitung ${}y'=0$ und es folgt, dass

${}0={\frac {\sin \left(\cos t\right)-e^{t^{5}}}{(t^{14}+8)e^{-t^{2}}+{\sqrt {t^{2}+\pi }}}}{\left(c^{2}+3c-5\right)}\,$

für alle ${}t$ in einem geeigneten Definitionsgebiet gelten muss. Die rechte Seite der Gleichung besteht aus zwei Faktoren, von denen einer nur von ${}t$ und der andere nur von ${}y$ abhängt (die Differentialgleichung besitzt also getrennte Variablen). Der von ${}t$ abhängige Faktor ist dabei auf keinem Intervall konstant Null, sodass folgt, dass der zweite Faktor konstant Null sein muss. Durch Lösen der quadratischen Gleichung

$0=c^{2}+3c-5$

erhalten wir schließlich genau zwei Lösungen, welche konstante Lösungen der Differentialgleichung sind.

Zur kommentierten Aufgabe