Gewöhnliche Differentialgleichung/Höhere Ordnung/Charakteristisches Polynom zerfällt/Fundamentalsystem/Fakt

Fundamentalsystem für lineare Differentialgleichung höherer Ordnung

Es sei

$y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=0$

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten und das charakteristische Polynom zerfalle in Linearfaktoren,

$\begin{array}{cc}P& =X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0\\ & =(X-{\lambda }_1{)}^{{\nu }_1}\cdots (X-{\lambda }_k{)}^{{\nu }_k},\end{array}$

wobei die ${\lambda }_i$ verschieden seien.

Dann bilden die Funktionen

$t^j{e}^{{\lambda }_{i}t},i=1,\dots ,k,j=0,\dots ,{\nu }_i-1,$

ein Fundamentalsystem für diese Differentialgleichung.

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