Gewöhnliche Differentialgleichung/Höhere Ordnung/Charakteristisches Polynom zerfällt/Fundamentalsystem/Fakt

Fundamentalsystem für lineare Differentialgleichung höherer Ordnung

Es sei

{}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0\,

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten und das charakteristische Polynom zerfalle in Linearfaktoren,

{}{\begin{aligned}P&=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\\&=(X-\lambda _{1})^{\nu _{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{\nu _{k}},\end{aligned}}

wobei die ${}\lambda _{i}$ verschieden seien.

Dann bilden die Funktionen

$t^{j}e^{\lambda _{i}t},\,i=1,\ldots ,k,\,j=0,\ldots ,\nu _{i}-1,$

ein Fundamentalsystem für diese Differentialgleichung.