Gewöhnliche Differentialgleichung/Höhere Ordnung/Potenzreihenansatz/Durchführung/Bemerkung

Eine Differentialgleichung höherer Ordnung

$y^{(n)}=g{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}$

kann man mit einem Potenzreihenansatz, also mit einem Ansatz der Form

$y(t)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}$

mit unbestimmten Koeffizienten ${}a_{k}$, (bis zu einer gewissen Ordnung) lösen. Dazu muss die Funktion ${}g$ polynomial (oder durch eine Potenzreihe gegeben) sein. Damit die Lösung eindeutig ist, müssen zusätzlich Anfangsbedingungen

$y(0)=b_{0},y'(0)=b_{1},\ldots ,y^{(n-1)}(0)=b_{n-1}$

vorgegeben sein. Die Koeffizienten ${}a_{k}$ werden sukzessive unter Verwendung der Differentialgleichung und der Anfangsbedingungen gelöst.