Gewöhnliche Differentialgleichungen/Konstante Richtung/1/Beispiel

Wir betrachten das Anfangswertproblem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=g(t,x,y){\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\,$

mit

${}g(t,x,y)=t(x+y)\,$

und dem Anfangsvektor ${}{\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}$ zum Zeitpunkt ${}t=0$. Gemäß Fakt müssen wir nach einer Lösung des eindimensionalen Anfangswertproblems

${}z'=h(t,z):=t(2+3z+5+z)=t(4z+7)=4tz+7t\,$

mit ${}z(0)=0$ suchen. Dies ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung, die Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung ist ${}e^{2t^{2}}$ und die Lösungen sind

$-{\frac {7}{4}}+ce^{2t^{2}}.$

Um das Anfangswertproblem zu lösen muss man ${}c={\frac {7}{4}}$ nehmen. Deshalb ist

${}\gamma (t)={\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}+{\left(-{\frac {7}{4}}+{\frac {7}{4}}e^{2t^{2}}\right)}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\,$

die Lösung des Anfangwertproblems.