Gewöhnliche Differentialgleichungen/Konstante Richtung/R^n/Lösungsverfahren/Fakt

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und es sei ${}w\in \mathbb {R} ^{n}$ ein fixierter Vektor. Es sei

$g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v),$

eine Funktion mit dem zugehörigen Vektorfeld mit konstanter Richtung

$F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot w.$

Dann ist die Lösung des Anfangswertproblemes

${}v'=F(t,v)\,$

mit

${}v(t_{0})={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\,$

von der Form

${}\gamma (t)={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}+\beta (t)w\,,$

wobei

$\beta \colon J\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Lösung des eindimensionalen Anfangswertproblems

${}z'=h(t,z):=g(t,a_{1}+zw_{1},\ldots ,a_{n}+zw_{n})\,$

mit

${}\beta (t_{0})=0\,$

ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen