Gewöhnliches Differentialgleichungssystem/Polygonzugverfahren/Verfahren

Es sei ein Vektorfeld

$F\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{d}$

auf einer offenen Menge ${}G\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{d}$ und eine Anfangsbedingung ${}y(t_{0})=P\in \mathbb {R} ^{d}$ gegeben. Das eulersche Polygonzugverfahren funktioniert folgendermaßen: Man wählt eine Schrittweite ${}s>0$ und berechnet rekursiv die Punktfolge ${}P_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, durch ${}P_{0}=P$ und

${}P_{n+1}=P_{n}+sF(t_{0}+ns,P_{n})\,.$

Zu einem schon konstruierten Punkt ${}P_{n}$ wird also das ${}s$-fache des Richtungsvektors zum Zeitpunkt ${}t_{0}+ns$ an diesem Punkt hinzuaddiert. Dies funktioniert nur, solange die Punkte im Definitionsbereich des Vektorfeldes liegen. Der zu dieser Punktfolge gehörende Streckenzug oder Polygonzug

$\delta \colon \mathbb {R} _{\geq t_{0}}\longrightarrow \mathbb {R} ^{d}$

ist die lineare Interpolation mit ${}\delta (t_{0}+ns)=P_{n}$, d.h. für ${}t$ mit ${}t_{0}+ns\leq t\leq t_{0}+(n+1)s$ ist

${}\delta (t)=P_{n}+{\frac {t-t_{0}-ns}{s}}{\left(P_{n+1}-P_{n}\right)}\,.$

Dieser Streckenzug ${}\delta$ stellt eine stückweise lineare Approximation der Lösungskurve des Anfangswertproblems dar. Für eine kleinere Schrittweite wird die Approximation im Allgemeinen besser.