Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihe/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und ${}k\in \mathbb {N} _{\geq 3}$. Dann erfüllen die Eisensteinreihen folgende Eigenschaften.

1. Die Eisensteinreihen ${}G_{k}(\Gamma )$ sind für ${}k\geq 3$ absolut konvergent.
2. Bei ${}\Gamma =\langle u,v\rangle$ ist

   ${}G_{k}(\Gamma )=\sum _{n,m\in \mathbb {Z} ,(n,m)\neq (0,0)}{\frac {1}{{\left(nu+mv\right)}^{k}}}\,.$

3. Für ungerades ${}k\geq 3$ ist

   ${}G_{k}(\Gamma )=0\,.$

4. Für ${}s\in {\mathbb {C} }^{\times }$ ist

   ${}G_{k}(s\Gamma )=s^{-k}G_{k}(\Gamma )\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen