Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihe/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei  ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$  ein Gitter und  ${}k\in \mathbb {N} _{\geq 3}$.  Dann erfüllen die Eisensteinreihen folgende Eigenschaften.

1. Die Eisensteinreihen ${}G_{k}(\Gamma )$ sind für  ${}k\geq 3$  absolut konvergent.
2. Bei  ${}\Gamma =\langle u,v\rangle$  ist

   ${}G_{k}(\Gamma )=\sum _{n,m\in \mathbb {Z} ,(n,m)\neq (0,0)}{\frac {1}{{\left(nu+mv\right)}^{k}}}\,.$

3. Für ungerades  ${}k\geq 3$  ist

   ${}G_{k}(\Gamma )=0\,.$

4. Für  ${}s\in {\mathbb {C} }^{\times }$  ist

   ${}G_{k}(s\Gamma )=s^{-k}G_{k}(\Gamma )\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen