Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihe/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
2. Das ist klar.
3. Es sei ${}k$ ungerade. Auf ${}\Gamma '$ ist durch die Punktsymmetrie eine Äquivalenzrelation gegeben, bei der jedes ${}z$ mit sich und mit ${}-z$ äquivalent ist. Wir summieren gemäß diesen Äquivalenzklassen und erhalten

   ${}{\begin{aligned}G_{k}(\Gamma )&=\sum _{z\in \Gamma '}{\frac {1}{z^{k}}}\\&=\sum _{[z]\in \Gamma '/\pm }{\left({\frac {1}{z^{k}}}+{\frac {1}{(-z)^{k}}}\right)}\\&=\sum _{[z]\in \Gamma '/\pm }{\left({\frac {1}{z^{k}}}-{\frac {1}{z^{k}}}\right)}\\&=0.\end{aligned}}$

4. Es ist

   ${}{\begin{aligned}G_{k}(s\Gamma )&=\sum _{w\in (s\Gamma )'}{\frac {1}{w^{k}}}\\&=\sum _{z\in \Gamma '}{\frac {1}{(sz)^{k}}}\\&={\frac {1}{s^{k}}}\sum _{z\in \Gamma '}{\frac {1}{z^{k}}}\\&={\frac {1}{s^{k}}}G_{k}(\Gamma ).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage