Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Körper/Beschreibung/Fakt

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.

Dann besitzt der Körper der elliptischen Funktionen die Beschreibung

${}{\mathbb {C} }(\wp ,\wp ')={\mathbb {C} }(\wp )[\wp ']/(\wp '^{2}-g(\wp ))\,$

mit dem kubischen Polynom

${}g(\wp )=4\wp ^{3}-60G_{4}(\Gamma )\wp -140G_{6}(\Gamma )=4\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3}\,$

in der Weierstraßschen ${}\wp$-Funktion, wobei ${}G_{4}(\Gamma )$ und ${}G_{6}(\Gamma )$ die Werte der Eisensteinreihen für ${}\Gamma$ bezeichnen.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen