Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Körper/Beschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

Es wurde bereits in Fakt gezeigt, dass der Körper der elliptischen Funktionen von ${}\wp$ und ${}\wp '$ erzeugt wird. Die Weierstraßsche Funktion ${}\wp$ ist definitiv nicht konstant, somit ist ${}{\mathbb {C} }(\wp )\cong {\mathbb {C} }(T)\subseteq {\mathbb {C} }(\wp ,\wp ')$. Wenn wir die angesprochene algebraische Relation zwischen ${}\wp$ und ${}\wp '$ etabliert haben, so folgt, da diese irreduzibel ist, die Beschreibung des Körpers.

Nach Fakt ist

${}\wp (z)=z^{-2}+3G_{4}z^{2}+5G_{6}z^{4}+\ldots \,.$

Daraus ergibt sich

${}\wp '(z)=-2z^{-3}+6G_{4}z+20G_{6}z^{3}+\ldots \,$

und

${}(\wp (z))^{3}=z^{-6}+9G_{4}z^{-2}+15G_{6}+\ldots \,$

und

${}(\wp '(z))^{2}=4z^{-6}-24G_{4}z^{-2}-80G_{6}+\ldots \,,$

wobei die weggelassenen höheren Terme holomorph sind. Wir betrachten die zusammengesetzte Funktion

${}h(z)=(\wp '(z))^{2}-4\wp (z)^{3}+60G_{4}\wp (z)+140G_{6}\,,$

die als polynomiale Kombination von elliptischen Funktionen wieder elliptisch ist, und allenfalls in den Gitterpunkten Pole besitzt. Die Laurent-Entwicklung dieser Funktion im Nullpunkt ist

${}{\begin{aligned}h(z)&=4z^{-6}-24G_{4}z^{-2}-80G_{6}+\ldots -4{\left(z^{-6}+9G_{4}z^{-2}+15G_{6}+\ldots \right)}+60G_{4}{\left(z^{-2}+3G_{4}z^{2}+5G_{6}z^{4}+\ldots \right)}+140G_{6}\\&=(4-4)z^{-6}+(-24-36+60)G_{4}z^{-2}+(-80-60+140)G_{6}z^{0}+\ldots .\end{aligned}}$

Da sich hier die Polstellenterme wegheben, ist dies eine holomorphe elliptische Funktion, die im Nullpunkt den Wert ${}0$ besitzt. Daher ist die Funktion nach Fakt konstant gleich ${}0$ und beschreibt eine algebraische Relation zwischen ${}\wp$ und ${}\wp '$.

Zur bewiesenen Aussage