Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Körper/Beschreibung/Fakt/Beweis

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Beweis

Es wurde bereits in Fakt gezeigt, dass der Körper der elliptischen Funktionen von und erzeugt wird. Die Weierstraßsche Funktion ist definitiv nicht konstant, somit ist . Wenn wir die angesprochene algebraische Relation zwischen und etabliert haben, so folgt, da diese irreduzibel ist, die Beschreibung des Körpers.

Nach Fakt ist

Daraus ergibt sich

und

und

wobei die weggelassenen höheren Terme holomorph sind. Wir betrachten die zusammengesetzte Funktion

die als polynomiale Kombination von elliptischen Funktionen wieder elliptisch ist, und zwar allenfalls in den Gitterpunkten Pole besitzt. Die Laurent-Entwicklung dieser Funktion im Nullpunkt ist

Da sich hier die Polstellenterme wegheben, ist dies eine holomorphe elliptische Funktion, die im Nullpunkt den Wert besitzt. Daher ist die Funktion nach Fakt konstant gleich und beschreibt eine algebraische Relation zwischen und .