Gitter/Komplexe Zahlen/Kehrwert/Konvergenz/Fakt/Beweis

Beweis

Die Familie ist genau dann summierbar, wenn die Familie ${}\vert {v}\vert ^{-s}$ summierbar ist. Die Aussage kann man auf das Standardgitter zurückführen. Wir betrachten zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die endlichen Teilfamilien (Quadrat mit Seitenlänge ${}2n$)

$\sum _{\max(\vert {a}\vert ,\vert {b}\vert )=n}\vert {a+b{\mathrm {i} }}\vert ^{-s}.$

Diese besteht aus

${}2(2n+1)+2(2n-1)=8n\,$

Summanden und diese sind ${}\leq n^{-s}$. Die Summe ${}a_{n}$ dieser Teilfamilie ist also

${}\leq 8n\cdot n^{-s}=8n^{1-s}\,,$

wobei der Exponent ${}<-1$ ist. Die Summe ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}$ existiert also und daher ist nach dem großen Umordnungssatz die Ausgangsfamilie summierbar.

Zur bewiesenen Aussage