Gitter/Komplexe Zahlen/Stetiger Homomorphismus nach Quotient/Liftung/Fakt/Beweis

Beweis

Da ${}\pi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$ die universelle Überlagerung und ${}{\mathbb {C} }$ einfach zusammenhängend ist, gibt es nach Fakt eine eindeutig bestimmte stetige Liftung ${}{\tilde {\varphi }}\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit ${}\varphi =\pi \circ {\tilde {\varphi }}$ und ${}{\tilde {\varphi }}(0)=0$. Wir betrachten die stetige Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(P,Q)\longmapsto {\tilde {\varphi }}(P+Q)-{\tilde {\varphi }}(P)-{\tilde {\varphi }}(Q),$

die für ${}(0,0)$ den Wert ${}0$ besitzt. Es ist

${}{\begin{aligned}\pi {\left({\tilde {\varphi }}(P+Q)-{\tilde {\varphi }}(P)-{\tilde {\varphi }}(Q)\right)}&=\pi {\left({\tilde {\varphi }}(P+Q)\right)}-\pi {\left({\tilde {\varphi }}(P)\right)}-\pi {\left({\tilde {\varphi }}(Q)\right)}\\&=\varphi (P+Q)-\varphi (P)-\varphi (Q)\\&=[0],\end{aligned}}$

da ja ${}\varphi$ ein Gruppenhomomorphismus ist. Somit ist ${}{\tilde {\varphi }}(P+Q)-{\tilde {\varphi }}(P)-{\tilde {\varphi }}(Q)\in \Gamma$ für alle ${}(P,Q)$. Da ${}\Psi$ stetig und ${}\Gamma$ diskret ist, ist ${}\Psi$ konstant gleich ${}0$. Also ist ${}{\tilde {\varphi }}$ ein Gruppenhomomorphismus.

Zur bewiesenen Aussage