Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Obere Halbebene/Fakt/Beweis

Beweis

Die Streckungsbedingung zusammen mit der Basisbeschreibung aus Fakt führt auf die Bedingung

$\left(\begin{array}{c}{\tau }_2\\ 1\end{array}\right)=s\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\tau }_1\\ 1\end{array}\right)=s\left(\begin{array}{c}a{\tau }_1+b\\ c{\tau }_1+d\end{array}\right)$

mit  $s\in {ℂ}^{\times }$  und  $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{GL}}_2\left(\mathbb{Z}\right)$.  Daher muss

$s=\frac{1}{c{\tau }_1+d}$

sein und die Bedingung wird zu

${\tau }_2=\frac{a{\tau }_1+b}{c{\tau }_1+d}.$

Es ist

$\frac{a{\tau }_1+b}{c{\tau }_1+d}=\frac{(a{\tau }_1+b)(c\overline{{\tau }_1}+d)}{(c{\tau }_1+d)(c\overline{{\tau }_1}+d)}.$

Der Nenner ist reell und positiv, der Zähler ist

$\begin{array}{cc}(a{\tau }_1+b)(c\overline{{\tau }_1}+d)& =ac{\tau }_1\overline{{\tau }_1}+bd+ad{\tau }_1+bc\overline{{\tau }_1}\\ & =ac{\tau }_1\overline{{\tau }_1}+bd+(bc\pm 1){\tau }_1+bc\overline{{\tau }_1}\\ & =ac{\tau }_1\overline{{\tau }_1}+bd+bc({\tau }_1+\overline{{\tau }_1})\pm {\tau }_1.\end{array}$

Hierbei sind die drei Summanden links reell. Somit gehört $\frac{a{\tau }_1+b}{c{\tau }_1+d}$ genau dann zu $ℍ$, wenn das Vorzeichen vor ${\tau }_1$ positiv ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Matrix die Determinante $1$ besitzt.

Zur bewiesenen Aussage