Komplexe Zahlen/Gitter/Basisauswahl/Fakt

Zwei reell linear unabhängige Paare ${}(u_{1},u_{2})$ und ${}(v_{1},v_{2})$ vom komplexen Zahlen

definieren genau dann das gleiche Gitter, wenn es eine invertierbare Matrix

${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,$

mit

${}{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}\,$

gibt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen