Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Vertretung in oberer Halbebene/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}\Gamma =\mathbb {Z} u_{1}+\mathbb {Z} u_{2}$. Da ${}u_{1},u_{2}$ eine reelle Basis bilden, ist insbesondere ${}u_{1}\neq 0$. Mit ${}s:=u_{1}^{-1}$ erhält man das streckungsäquivalente Gitter

${}s\Gamma =\langle su_{1},su_{2}\rangle =\langle u_{1}^{-1}u_{1},u_{1}^{-1}u_{2}\rangle =\langle 1,u_{1}^{-1}u_{2}\rangle \,.$

Sei ${}v=u_{1}^{-1}u_{2}$. Diese Zahl ist nicht reell, da andernfalls eine reelle lineare Abhängigkeit zwischen ${}u_{1}$ und ${}u_{2}$ vorliegen würde. Also besitzt ${}v$ einen imaginären Anteil. Wenn dieser in der unteren Halbebene liegt, so ersetzen wir ${}v$ durch ${}-v$ und erhalten eine Basis mit den verlangten Eigenschaften.

Zur bewiesenen Aussage