Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Vertretung in oberer Halbebene/Fakt/Beweis

Beweis

Sei  $\Gamma =\mathbb{Z}{u}_1+\mathbb{Z}{u}_2$.  Da $u_1,u_2$ eine reelle Basis bilden, ist insbesondere  $u_1\ne 0$.  Mit  $s:=u_1^{-1}$  erhält man das streckungsäquivalente Gitter

$s\Gamma =⟨s{u}_1,s{u}_2⟩=⟨u_1^{-1}{u}_1,u_1^{-1}{u}_2⟩=⟨1,u_1^{-1}{u}_2⟩.$

Sei  $v=u_1^{-1}{u}_2$.  Diese Zahl ist nicht reell, da andernfalls eine reelle lineare Abhängigkeit zwischen $u_1$ und $u_2$ vorliegen würde. Also besitzt $v$ einen imaginären Anteil. Wenn dieser in der unteren Halbebene liegt, so ersetzen wir $v$ durch $-v$ und erhalten eine Basis mit den verlangten Eigenschaften.

Zur bewiesenen Aussage