Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Topologischer Quotient/Endliche Überlagerung/Fakt/Beweis

Beweis

Es liegt das kommutative Diagramm

$\begin{array}{cccc}ℂ& \stackrel{{\pi }_1}{⟶}& ℂ/{\mathrm{\Gamma }}_1& \\ & {\pi }_2\searrow & \downarrow \pi & \\ & & ℂ/{\mathrm{\Gamma }}_2,& \end{array}$

wobei ${\pi }_1$ und ${\pi }_2$ nach Fakt Überlagerungen sind. Zu einer offenen Umgebung  $P\in U\subseteq ℂ/{\mathrm{\Gamma }}_2$,  für die es in $ℂ$ die disjunkten und zu $U$ homöomorphen offenen Umgebungen $g+\tilde{U}$, $g\in {\mathrm{\Gamma }}_2$, gibt, ist das Urbild ${\pi }^{-1}(U)$ in $ℂ/{\mathrm{\Gamma }}_1$ die disjunkte Vereinigung der offenen Mengen ${\pi }_1(g+\tilde{U})$, $[g]\in {\mathrm{\Gamma }}_2/{\mathrm{\Gamma }}_1$, wobei

${\pi }_1(g+\tilde{U})⟶U$

Homöomorphismen sind. Daher liegt eine Überlagerung vor.

Ein Element  $[g]\in {\mathrm{\Gamma }}_2/{\mathrm{\Gamma }}_1$  definiert einen stetigen Gruppenhomomorphismus

$g:ℂ/{\mathrm{\Gamma }}_1⟶ℂ/{\mathrm{\Gamma }}_1,z⟼z+g,$

derart, dass das Diagramm

$\begin{array}{cccc}ℂ/{\mathrm{\Gamma }}_1& \stackrel{g}{⟶}& ℂ/{\mathrm{\Gamma }}_1& \\ & \pi \searrow & \downarrow \pi & \\ & & ℂ/{\mathrm{\Gamma }}_2& \end{array}$

kommutiert. Dabei definiert $g$ genau dann die Identität auf $ℂ/{\mathrm{\Gamma }}_1$, wenn  $g\in {\mathrm{\Gamma }}_1$  ist, also wenn  $[g]=[0]$  in ${\mathrm{\Gamma }}_2/{\mathrm{\Gamma }}_1$ ist. Die Addition in ${\mathrm{\Gamma }}_2/{\mathrm{\Gamma }}_1$ entspricht dabei der Hintereinanderschaltung von Abbildungen.

Zur bewiesenen Aussage