Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Topologischer Quotient/Endliche Überlagerung/Fakt/Beweis

Beweis

Es liegt das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}{\mathbb {C} }&{\stackrel {\pi _{1}}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}&\\&\!\!\!\!\!\pi _{2}\searrow &\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}\,,&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

wobei ${}\pi _{1}$ und ${}\pi _{2}$ nach Fakt Überlagerungen sind. Zu einer offenen Umgebung ${}P\in U\subseteq {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$, für die es in ${}{\mathbb {C} }$ die disjunkten und zu ${}U$ homöomorphen offenen Umgebungen ${}g+{\tilde {U}}$, ${}g\in \Gamma _{2}$, gibt, ist das Urbild ${}\pi ^{-1}(U)$ in ${}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$ die disjunkte Vereinigung der offenen Mengen ${}\pi _{1}(g+{\tilde {U}})$, ${}[g]\in \Gamma _{2}/\Gamma _{1}$, wobei

$\pi _{1}(g+{\tilde {U}})\longrightarrow U$

Homöomorphismen sind. Daher liegt eine Überlagerung vor.

Ein Element ${}[g]\in \Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ definiert einen stetigen Gruppenhomomorphismus

$g\colon {\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{1},\,z\longmapsto z+g,$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}&{\stackrel {g}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}&\\&\!\!\!\!\!\pi \searrow &\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert. Dabei definiert ${}g$ genau dann die Identität auf ${}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$, wenn ${}g\in \Gamma _{1}$ ist, also wenn ${}[g]=[0]$ in ${}\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ ist. Die Addition in ${}\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ entspricht dabei der Hintereinanderschaltung von Abbildungen.

Zur bewiesenen Aussage