Glatte Kurve/Morphismus/Zurückgezogener Divisor/Hauptdivisor/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen der Nichtkonstanz gehört zu ${}\varphi$ eine Körpererweiterung ${}Q(C_{2})\subseteq Q(C_{1})$ und zu jedem Punkt ${}Q\in C_{1}$ liegt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}{\mathcal {O}}_{C_{2},\varphi (Q)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathcal {O}}_{C_{1},Q}&\\\downarrow &&\downarrow &\\Q(C_{2})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&Q(C_{1})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

von injektiven Ringhomomorphismen vor, wobei in der ersten Zeile diskrete Berwertungsringe stehen. Wenn

${}q=u\pi _{2}^{n}\,$

mit einer Einheit ${}u\in {\mathcal {O}}_{C_{2},\varphi (Q)}$ und einer Ortsuniformisierenden ${}\pi _{2}\in {\mathcal {O}}_{C_{2},\varphi (Q)}$ gilt, so ist

${}q=u\pi _{2}^{n}=u{\left(u'\pi _{1}^{\operatorname {Verz} {\left(Q{|}\varphi (Q)\right)}}\right)}^{n}=uu'\pi _{1}^{n\operatorname {Verz} {\left(Q{|}\varphi (Q)\right)}}\,$

mit einer Orstuniformisierenden ${}\pi _{1}$ von ${}{\mathcal {O}}_{C_{1},Q}$, woraus die Aussage folgt.

Zur bewiesenen Aussage