Glatte Kurven/Algebraisch abgeschlossen/Morphismus/Endlich/Gradkonstanz/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir können die affine Situation betrachten, es seien also integre normale -Algebren vom endlichen Typ der Dimension und sei eine endliche Erweiterung. Es besitzt den Grad . Der Punkt entspreche dem maximalen Ideal von . Aufgrund der Glattheit ist die Lokalisierung ein diskreter Bewertungsring und daher ist eine freie (da torsionsfrei) -Algebra von Rang . Daher ist auch der Faserring über , also

eine freie -Algebra vom Rang , also ein -Vektorraum der Vektorraumdimension . Die schematheoretische Faser hat also die Vektorraumdimension (das ist mit Multiplizität) gemeint. Dieser Ring hat die Form , wobei die -Algebren mit einem einzigen maximalen Ideal sind. Daher ist .