Glatte Kurven/Algebraisch abgeschlossen/Morphismus/Endlich/Gradkonstanz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können die affine Situation betrachten, es seien also ${}R,S$ integre normale ${}K$-Algebren vom endlichen Typ der Dimension ${}1$ und ${}R\subseteq S$ sei eine endliche Erweiterung. Es besitzt ${}Q(R)\subseteq Q(S)$ den Grad ${}n$. Der Punkt ${}P$ entspreche dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {p}}$ von ${}R$. Aufgrund der Glattheit ist die Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein diskreter Bewertungsring und daher ist ${}S_{\mathfrak {p}}=S\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}=S_{R\setminus {\mathfrak {p}}}$ eine freie (da torsionsfrei) ${}R_{\mathfrak {p}}$-Algebra von Rang ${}n$. Daher ist auch der Faserring über ${}{\mathfrak {p}}$, also

${}S\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {p}})=S_{R\setminus {\mathfrak {p}}}/{\mathfrak {p}}S\,,$

eine freie ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$-Algebra vom Rang ${}n$, also ein ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$-Vektorraum der Vektorraumdimension ${}n$. Die schematheoretische Faser hat also die Vektorraumdimension ${}n$ (das ist mit Multiplizität) gemeint. Dieser Ring hat die Form ${}A_{1}\times \cdots \times A_{m}$, wobei die ${}A_{j}$ ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$-Algebren mit einem einzigen maximalen Ideal sind. Daher ist ${}m\leq n$.

Zur bewiesenen Aussage