Glatte ebene Kurven/Disjunkt/Minimaler Abstand/Parallele Tangenten/Aufgabe

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

stetig differenzierbare Funktionen derart, dass die Nullfasern ${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} \mid f(x,y)=0\right\}}$ und ${}N={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} \mid g(x,y)=0\right\}}$ disjunkt sind und beide nur reguläre Punkte besitzen. Es sei

$(P,Q)\in M\times N\subseteq \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$

ein Punktepaar, für das der Abstand zwischen solchen Punkten minimal wird. Zeige, dass die zugehörigen Tangenten parallel sind.

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