Glatte ebene Kurven/Disjunkt/Minimaler Abstand/Parallele Tangenten/Aufgabe

Es seien

$f,g:{ℝ}^2⟶ℝ$

stetig differenzierbare Funktionen derart, dass die Nullfasern $M=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid f(x,y)=0\}$ und $N=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid g(x,y)=0\}$ disjunkt sind und beide nur reguläre Punkte besitzen. Es sei

$(P,Q)\in M\times N\subseteq {ℝ}^2\times {ℝ}^2$

ein Punktepaar, für das der Abstand zwischen solchen Punkten minimal wird. Zeige, dass die zugehörigen Tangenten parallel sind.

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