Glatte kubische Kurve/Projektiv/Gruppenstruktur/Körpererweiterung/Endlichkeit/Bemerkung

Zu einer elliptischen Kurve ${}E$ über ${}K$ ist nach Fakt ${}(E(K),+,{\mathfrak {O}})$, die Menge der ${}K$-rationalen Punkte von ${}E$, eine kommutative Gruppe. Zu einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ gehört die Gruppe ${}(E(L),+,{\mathfrak {O}})$, in der ${}E(K)$ eine Untergruppe ist. Die Gruppe ${}E(K)$ kann endlich oder unendlich sein. Für einen endlichen Körper ${}K$ ist ${}E(K)$ stets endlich, da ja ${}{\mathbb {P} }_{K}^{2}$ nur endlich viele ${}K$-Punkte besitzt. Für einen algebraisch abgeschlossenen Körper ist ${}E(K)$ stets unendlich. Für ${}K=\mathbb {Q}$ oder einen anderen Zahlkörper ist es eine schwierige Frage, ob ${}E(K)$ endlich oder unendlich ist. Der wichtigste Satz ist hierbei der Satz von Mordell-Weil.