Glatte projektive Kurven/C/Kurzübersicht zur topologischen Gestalt/2/Bemerkung

Wählt man die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ als Grundkörper, so besitzt das Geschlecht einer glatten projektiven Kurve eine einfache topologische Interpretation. Eine solche Kurve kann man als eine kompakte eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeit (Riemannsche Fläche) und als eine reell zweidimensionale kompakte orientierte Mannigfaltigkeit auffassen. Letztere lassen sich topologisch einfach klassifizieren, und zwar ist eine solche Mannigfaltigkeit homöomorph zu einer Kugeloberfläche, an die ${}g$ Henkel angeklebt werden. Diese Zahl nennt man das (topologische) Geschlecht der reellen Fläche und damit auch der Kurve. Man kann zeigen, dass das algebraisch über die erste Kohomologie der Strukturgarbe definierte Geschlecht mit diesem topologischen Geschlecht übereinstimmt. Die komplex-projektive Gerade ist eine zweidimensionale Sphäre und hat keinen Henkel, ihr topologisches Geschlecht ist also ${}0$. Eine Fläche vom Geschlecht ${}1$ ist ein Torus (ein Autoreifen) der homöomorph zu ${}S^{1}\times S^{1}$ ist. Projektive Kurven vom Geschlecht ${}1$, also elliptische Kurven, haben diese topologische Gestalt.