Glatte projektive Varietät/Positive Charakteristik/Sehr amples Geradenbündel/Kohomologieklasse/Projektion/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Einbettung

$\varphi _{\mathcal {L}}\colon X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{N}$

zum vollen linearen System ${}H^{0}(X,{\mathcal {L}})$ gefolgt von der Projektion (weg von einem linear-projektiven Unterraum der Dimension ${}N-d-1$, der disjunkt zu ${}\varphi _{\mathcal {L}}(X)$ ist)

${\mathbb {P} }_{K}^{N}\supseteq U\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{d}.$

Die Hintereinanderschaltung ist endlich, das Urbild von ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(1)$ ist wieder ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{N}}(1){|}_{U}$, da dies auf einer Geraden getestet werden kann, und der Grad von

$\pi \colon \varphi _{\mathcal {L}}(X)\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{d}$

ist der Selbstschnitt ${}L^{(d)}$ auf ${}X$. Es ist ja mit dem Divisor ${}H$ zu ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{N}}(1)$

${}X.L^{(d)}=X.(\varphi ^{*}(H))^{(d)}=X.\varphi ^{*}(H^{(d)})=\varphi (X).H^{d}=\varphi (X).(\pi ^{*}(H_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}))^{(d)}=\pi ^{-1}(Punkt)\,.$

Wir beschreiben ${}c$ in Cech-Kohomologie zur Standardüberdeckung ${}D_{+}(x_{i})$ des ${}{\mathbb {P} }_{K}^{d}$, es liegt eine Klasse der Form

${}c={\frac {b}{(x_{0}x_{1}\cdots x_{d})^{m}}}\,$

mit

${}b\in \Gamma (\varphi (X),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{N}}((d+1)m-1){|}_{\varphi (X)})\,$

vor. Durch Frobenius den Grad negativer machen, in der neuen Situation sei der Nenner ${}a$ und habe den Grad

${}(d+1)mq-q=\,$

. Ganzheitsgleichung für ${}a$. Wenn ${}\varphi (X)$ durch das homogene Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ beschrieben wird, so ist ${}a$ ein homogenes Element im punktierten Spektrum und erfüllt daher eine Ganzheitsgleichung. Sei

${}q=p^{e}>Grad\,.$

Dann gibt es eine Ganzheitsgleichung

${}a^{n}+p_{n-1}a^{n-1}+\cdots +p_{2}a^{2}+p_{1}a+p_{0}=0\,$

mit homogenen Polynomen ${}p_{i}$ in den Variablen ${}x_{0},x_{1},\ldots ,x_{d}$ vom Grad ${}q(n-i)$ und ${}p_{0}\neq 0$ (sonst kürzen). Also ist

${}a(a^{n-1}+p_{n-1}a^{n-2}+\cdots +p_{2}a+p_{1})=p_{0}\,.$

Dabei ist

${}{\frac {p_{0}}{(x_{0}x_{1}\cdots x_{d})^{qm}}}\neq 0\,,$

da ${}p_{0}$ einen Grad ${}<qm$ besitzt. Wenn die Kohomologieklasse annulliert,

Zur bewiesenen Aussage