Gleichmäßige Konvergenz/Polynom mit Koeffizientenfolgen/Aufgabe

Es sei ${}d\in \mathbb {N}$ und sei für jedes ${}i\in \{0,1,\ldots ,d\}$ eine konvergente Folge

${\left(c_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

in ${}{\mathbb {C} }$ gegeben, deren Limes mit ${}c_{i}$ bezeichnet sei. Wir betrachten die Folge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ von Polynomen vom Grad ${}\leq d$, die durch

${}f_{n}:=c_{dn}x^{d}+c_{d-1\,n}x^{d-1}+\cdots +c_{2n}x^{2}+c_{1n}x+c_{0n}\,$

definiert sind. Zeige, dass diese Funktionenfolge auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe ${}B\left(0,r\right)$ gleichmäßig gegen

${}f=c_{d}x^{d}+c_{d-1}x^{d-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}\,$

konvergiert.

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