Grad 4/2 reelle Nullstellen/Galoisgruppe/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten das Polynom

${}F=X^{4}-2\,,$

das nach dem Lemma von Eisenstein irreduzibel ist. Es ist

${}X^{4}-2={\left(X^{2}-{\sqrt {2}}\right)}{\left(X^{2}+{\sqrt {2}}\right)}={\left(X-{\sqrt[{4}]{2}}\right)}{\left(X+{\sqrt[{4}]{2}}\right)}{\left(X-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{2}}\right)}{\left(X+{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{2}}\right)}\,,$

woraus ersichtlich ist, dass es genau zwei reelle Nullstellen gibt. Wir betrachten die Körperkette

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt[{4}]{2}}]=:L\,.$

Dabei ist ${}L$ der Zerfällungskörper des Polynoms, da ${}L$ die vier Nullstellen enthält. Die Grade in der Körperkette sind aber ${}2$ und ${}4$, sodass die Gesamterweiterung den Grad ${}8$ besitzt. Die ${}S_{4}$ hat aber ${}24$ Elemente.

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