Grad 5/Unauflösbar/Invariante Kombinationen/Aufgabe

Es sei ${}a$ eine Primzahl, ${}F=X^{5}+a^{2}X^{4}-a\in \mathbb {Q} [X]$ und ${}L=Z(F)$ der Zerfällungskörper von ${}F$. Es seien ${}\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{5}$ die Nullstellen von ${}F$ in ${}{\mathbb {C} }$.

1. Zeige, dass

   $\sum _{i=1}^{5}\alpha _{i}{\text{ und }}\prod _{i=1}^{5}\alpha _{i}$

   rationale Zahlen sind.

2. Zeige, dass

   $\prod _{1\leq i<j\leq 5}{\left(\alpha _{i}-\alpha _{j}\right)}$

   zu ${}L^{A_{n}}$ gehört, aber nicht zu ${}\mathbb {Q}$.

3. Zeige, dass

   $\prod _{1\leq i<j\leq 5}{\left(\alpha _{i}-\alpha _{j}\right)}^{2}$

   eine rationale Zahl ist.

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