Gradientenfeld/Potential zweimal stetig differenzierbar/Lösung mit Pause ist konstant/Aufgabe

Es sei

$h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion und

${}G(P)=\operatorname {Grad} \,h(P)\,$

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung und es sei ${}t\in \mathbb {R}$ ein Zeitpunkt mit

${}\varphi '(t)=0\,.$

a) Es sei ${}h$ zweimal stetig differenzierbar. Zeige, dass ${}\varphi$ konstant ist.

b) Zeige durch ein Beispiel, dass ohne die Voraussetzung aus a) ${}\varphi$ nicht konstant sein muss.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen