Gradientenfeld/Potential zweimal stetig differenzierbar/Lösung mit Pause ist konstant/Aufgabe/Lösung
a) Wenn zweimal stetig differenzierbar ist, so ist das Gradientenfeld stetig differenzierbar. Damit genügt es nach Fakt lokal einer Lipschitz-Bedingung und daher sind die Lösungen zu den Anfangswertproblemen in diesem Vektorfeld nach dem Satz von Picard-Lindelöf eindeutig. Eine Lösung der Differentialgleichung mit
ist eine Lösung eines Anfangswertproblems, wobei die Anfangsbedingung eben durch gegeben ist. Sei
Es ist also insbesondere
Wegen der Zeitunabhängigkeit des Gradientenfeldes ist daher die konstante Kurve
eine Lösung des Anfangswertproblems und muss wegen der Eindeutigkeit der Lösung mit übereinstimmen. D.h., dass konstant ist.
b) Es sei und
Diese Funktion ist auf ganz definiert und überall differenzierbar. Die Ableitung davon ergibt das Gradientenfeld
Die Differentialgleichung
besitzt die nichtkonstante Lösung
mit