Gradientenfeld/Potential zweimal stetig differenzierbar/Lösung mit Pause ist konstant/Aufgabe/Lösung

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a) Wenn zweimal stetig differenzierbar ist, so ist das Gradientenfeld stetig differenzierbar. Damit genügt es nach Fakt lokal einer Lipschitz-Bedingung und daher sind die Lösungen zu den Anfangswertproblemen in diesem Vektorfeld nach dem Satz von Picard-Lindelöf eindeutig. Eine Lösung der Differentialgleichung mit

ist eine Lösung eines Anfangswertproblems, wobei die Anfangsbedingung eben durch gegeben ist. Sei

Es ist also insbesondere

Wegen der Zeitunabhängigkeit des Gradientenfeldes ist daher die konstante Kurve

eine Lösung des Anfangswertproblems und muss wegen der Eindeutigkeit der Lösung mit übereinstimmen. D.h., dass konstant ist.

b) Es sei und

Diese Funktion ist auf ganz definiert und überall differenzierbar. Die Ableitung davon ergibt das Gradientenfeld

Die Differentialgleichung

besitzt die nichtkonstante Lösung

mit