Gradientenfeld/Produktabbildung/Fasern und Lösungen/Beispiel

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Wir betrachten die Produktabbildung

Das zugehörige Gradientenfeld ist

Die Fasern von sind das Achsenkreuz (die Faser über ) und die durch , , gegebenen Hyperbeln. Die Lösungen der linearen Differentialgleichung

sind von der Form

mit beliebigen , wie man direkt nachrechnet. Dabei ist . Für ist dies die stationäre Lösung im Nullpunkt, in dem die Produktabbildung nicht regulär ist. Bei ist , das Bild dieser Lösung ist die obere Halbdiagonale (ohne den Nullpunkt), bei ist , das Bild dieser Lösung ist die untere Halbdiagonale, bei und ist , das Bild dieser Lösung ist die untere Hälfte der Nebendiagonalen, bei und ist , das Bild dieser Lösung ist die obere Hälfte der Nebendiagonalen.

Ansonsten treffen die Lösungskurven das Achsenkreuz in einem Punkt . Wenn man diesen Punkt als Anfangswert zum Zeitpunkt nimmt, so kann man die Lösungskurven als

(zum Zeitpunkt befindet sich die Lösung auf der Achse im Punkt ),

und als

(zum Zeitpunkt befindet sich die Lösung auf der Achse im Punkt ) realisieren. Die Bahnen dieser Lösungen erfüllen die Gleichung bzw. , d.h. sie sind selbst Hyperbeln.