Wir betrachten die Produktabbildung
-
Das zugehörige
Gradientenfeld
ist
-
Die
Fasern
von
sind das Achsenkreuz
(die Faser über
)
und die durch
,
,
gegebenen
Hyperbeln.
Die
Lösungen
der
linearen Differentialgleichung
-
![{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\varphi _{1}'\\\varphi _{2}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varphi _{2}\\\varphi _{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0a15be7716872b69b4f0bb773e40e97a4fd20f)
sind von der Form
-
![{\displaystyle {}\varphi (t)=(\varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t))=(a\cosh t+b\sinh t,a\sinh t+b\cosh t)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f9678bbcc8514d990e364be3c7f97eb09a2b13)
mit beliebigen
,
wie man direkt nachrechnet und was sich auch aus
Fakt
bzw.
Aufgabe
ergibt. Dabei ist
.
Für
ist dies die
stationäre Lösung
im Nullpunkt, in dem die Produktabbildung nicht
regulär
ist. Bei
ist
,
das Bild dieser Lösung ist die obere Halbdiagonale
(ohne den Nullpunkt),
bei
ist
,
das Bild dieser Lösung ist die untere Halbdiagonale, bei
und
ist
,
das Bild dieser Lösung ist die untere Hälfte der Nebendiagonalen, bei
und
ist
,
das Bild dieser Lösung ist die obere Hälfte der Nebendiagonalen.
Ansonsten treffen die Lösungskurven das Achsenkreuz in einem Punkt
. Wenn man diesen Punkt als Anfangswert zum Zeitpunkt
nimmt, so kann man die Lösungskurven als
-
(zum Zeitpunkt
befindet sich die Lösung auf der
Achse im Punkt
),
und als
-
(zum Zeitpunkt
befindet sich die Lösung auf der
Achse im Punkt
)
realisieren. Die Bahnen dieser Lösungen erfüllen die Gleichung
bzw.
,
d.h. sie sind selbst Hyperbeln.