Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Lösung/Definition

Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein reelles Intervall,  ${}U\subseteq V$  eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}v'=f(t,v)\,$

heißt eine Abbildung

$v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$

auf einem offenen (Teil)Intervall  ${}J\subseteq I$  eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Es ist  ${}v(t)\in U$  für alle  ${}t\in J$. 
2. Die Abbildung ${}v$ ist differenzierbar.
3. Es ist  ${}v'(t)=f(t,v(t))$  für alle  ${}t\in J$.