Gradientenfeld/ye^(xy)+ln z, xe^(xy)-2yz, x durch z -y^2/Potential/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}{\frac {\partial G_{1}}{\partial y}}=e^{xy}+xye^{xy}\,$

und ebenso

${}{\frac {\partial G_{2}}{\partial x}}=e^{xy}+xye^{xy}\,,$

es ist

${}{\frac {\partial G_{1}}{\partial z}}={\frac {1}{z}}\,$

und ebenso

${}{\frac {\partial G_{3}}{\partial x}}={\frac {1}{z}}\,,$

und schließlich ist

${}{\frac {\partial G_{2}}{\partial z}}=-2y\,$

und ebenso

${}{\frac {\partial G_{3}}{\partial y}}=-2y\,,$

die Integrabilitätsbedingungen sind also erfüllt. Da ${}\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} _{>0}$ sternförmig ist, handelt es sich um ein Gradientenfeld.

b) Ein Potential zu ${}G$ ist

${}f(x,y,z)=x\ln z+e^{xy}-y^{2}z\,,$

wie man durch Ableiten bestätigt.

Zur gelösten Aufgabe