Graduierte Algebra/Körper/Erläuterung/Bemerkung

In einer $D$ -graduierten $K$ -Algebra besitzt jedes Element $a \in A$ eine eindeutige Darstellung

a = \sum_{d \in D} a_{d} mit a_{d} \in A_{d},

wobei nur endlich viele der $a_{d}$ ungleich $0$ sein können. Die $a_{d}$ heißen dabei die homogenen Komponenten von $a$ , die $A_{d}$ heißen ebenfalls die homogenen Komponenten von $A$ (oder $d$ -te Stufe) und Elemente $a \in A_{d}$ heißen homogen vom Grad $d$ . Die Gruppe $D$ heißt die graduierende Gruppe. Der Fall $A_{d} = 0$ ist erlaubt.

Durch eine Graduierung wird die Multiplikation auf einer Algebra $A$ übersichtlicher strukturiert. Man muss lediglich für homogene Elemente $a \in A_{d}$ und $b \in A_{e}$ die Produkte $a b \in A_{d + e}$ kennen, dadurch ist schon die gesamte Multiplikation distributiv festgelegt.