Graduierte Algebra/Ring/Erläuterung/Bemerkung

In einer ${}D$-graduierten ${}R$-Algebra besitzt jedes Element  ${}a\in A$  eine eindeutige Darstellung

$a=\sum _{d\in D}a_{d}{\text{ mit }}a_{d}\in A_{d},$

wobei nur endlich viele der ${}a_{d}$ ungleich ${}0$ sein können. Die ${}a_{d}$ heißen dabei die homogenen Komponenten von ${}a$, die ${}A_{d}$ heißen ebenfalls die homogenen Komponenten von ${}A$ (oder ${}d$-ten Stufen) und Elemente  ${}a\in A_{d}$  heißen homogen vom Grad ${}d$. Die Gruppe ${}D$ heißt die graduierende Gruppe. Der Fall  ${}A_{d}=0$  ist erlaubt.

Durch eine Graduierung wird die Multiplikation auf einer Algebra ${}A$ übersichtlicher strukturiert. Man muss lediglich für homogene Elemente ${}a\in A_{d}$ und ${}b\in A_{e}$ die Produkte  ${}ab\in A_{d+e}$  kennen, dadurch ist schon die gesamte Multiplikation distributiv festgelegt.