Graduierte Körpererweiterung/Hinreichend viele Einheitswurzeln/Normalbasis/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und ${}K\subseteq L$ eine ${}D$-graduierte Körpererweiterung. Der Körper ${}K$ enthalte eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel, wobei ${}m$ der Exponent von ${}D$ sei. Zeige, dass es ein Element ${}v\in L$ derart gibt, dass die Menge

${\left\{\varphi (v)\mid \varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right\}}$

eine ${}K$-Basis von ${}L$ bildet.

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