Graduierte Körpererweiterung/Hinreichend viele Einheitswurzeln/Normalbasis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine endliche kommutative Gruppe und  $K\subseteq L$  eine $D$-graduierte Körpererweiterung. Der Körper $K$ enthalte eine $m$-te primitive Einheitswurzel, wobei $m$ der Exponent von $D$ sei. Zeige, dass es ein Element $v\in L$ derart gibt, dass die Menge

$\{\phi (v)\mid \phi \in \mathrm{Gal}(L/K)\}$

eine $K$-Basis von $L$ bildet.

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