Graduierte Körpererweiterung/Hinreichend viele Einheitswurzeln/Normalbasis/Aufgabe/Lösung

Unter der Voraussetzung über die Einheitswurzeln ist die Körpererweiterung eine Galoiserweiterung und die Galoisgruppe ist in natürlicher Weise isomorph zur Charaktergruppe ${}D^{\vee }$. Insbesondere ist die Anzahl der Charaktere gleich dem Grad der Körpererweiterung. Ein Charakter ${}\chi$ schickt, als Automorphismus aufgefasst, ein homogenes Element ${}x_{d}$ vom Grad ${}d$ auf ${}\chi (d)x_{d}$.

Wir wählen in jeder Komponente ${}L_{d}$ ein von ${}0$ verschiedenes Element ${}x_{d}$ und setzen

$v=\sum _{d\in D}x_{d}.$

Die Menge ${}{\left\{\varphi (v)\mid \varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right\}}$ ist gleich

${\left\{\varphi _{\chi }(v)=\sum _{d\in D}\chi (d)x_{d}\mid \chi \in D^{\vee }\right\}}.$

Da die Anzahl der Charaktere gleich dem Körpergrad ist, genügt es zu zeigen, dass diese Elemente linear unabhängig sind. Es sei also

$\sum _{\chi }c_{\chi }\varphi _{\chi }(v)=0$

mit ${}c_{\chi }\in K$. Das bedeutet

${}\sum _{\chi }c_{\chi }(\sum _{d\in D}\chi (d)x_{d})=\sum _{d\in D}(\sum _{\chi }c_{\chi }\chi (d))x_{d}=0\,.$

Da die ${}x_{d}$, ${}d\in D$, linear unabhängig sind, folgt für jedes ${}d\in D$ die Beziehung

$\sum _{\chi }c_{\chi }\chi (d)=0.$

Dies bedeutet wiederum für die Charaktere die Gleichheit

$\sum _{\chi }c_{\chi }\chi =0.$

Nach dem Lemma von Dedekind sind aber die Charaktere linear unabhängig, sodass ${}c_{\chi }=0$ ist.

Zur gelösten Aufgabe