Graduierte Körpererweiterung/Q(sqrt(2), sqrt(3))/Beispiel

Wir betrachten den von ${}{\sqrt {2}}$ und ${}{\sqrt {3}}$ erzeugten Unterkörper ${}L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}]$ von ${}{\mathbb {C} }$ (oder von ${}\mathbb {R}$). Die Elemente ${}1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}$ bilden dabei unmittelbar ein ${}\mathbb {Q}$-Erzeugendensystem und sogar eine Basis, da man andernfalls ${}{\sqrt {3}}$ als rationale Linearkombination von ${}1$ und ${}{\sqrt {2}}$ ausdrücken könnte. Damit liegt insgesamt eine Körpererweiterung vom Grad vier vor. Sei ${}D=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$. Wir setzen

$L_{(0,0)}=\mathbb {Q} ,\,L_{(1,0)}=\mathbb {Q} \cdot {\sqrt {2}},\,L_{(0,1)}=\mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}\,,L_{(1,1)}=\mathbb {Q} \cdot {\sqrt {6}},$

und erhalten dadurch eine ${}D$-graduierte Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$.