Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Homogene Einheit/Homöomorphie/Fakt/Beweis

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Beweis

Zunächst ist ein Primideal und die Abbildung ist wohldefiniert. Es sei eine Einheit positiven Grades. Wir behaupten, dass sich aus rekonstruieren lässt, und zwar sind die homogenen Elemente von , die ja das Ideal festlegen, gleich

Dabei ist die Inklusion klar, da man und so wählen kann, dass der Grad von gleich wird. Wenn umgekehrt ist, so ist zunächst und wegen der Primeigenschaft dann auch . Damit ist die Abbildung injektiv. Zum Nachweis der Surjektivität sei ein Primideal aus und wir betrachten das von

erzeugte Ideal. Dieses enthält keine Einheit und somit auch nicht ganz , da es nicht enthält, da nicht die enthält. Wenn zu dieser Menge gehört, so ist für gewisse und für eine gewisse Potenz davon können wir dies als

derart schreiben, dass beide Faktoren den Grad haben. Dann muss ein Faktor zu gehören und somit oder zu der angegebenen Menge.

Zum Nachweis der Homöomorphie beachte man, dass die Mengen bzw. zu homogenen Elementen (vom Grad ) jeweils eine Basis der Topologie bilden, dass das Urbild von gleich ist und dass ist.

Zur bewiesenen Aussage