Graduierter Ring/Z/Kegelabbildung/Schema/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert, da die Homogenisierung eines Primideals wieder ein Primideal ist. Zu einem homogenen ${}f\in R_{+}$ und einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ ist ${}f\in {\mathfrak {p}}$ genau dann, wenn ${}f\in {\mathfrak {p}}^{h}$ ist, daher ist das Urbild von ${}D_{+}(f)$ gleich ${}D(f)$ und die Abbildung ist stetig. Das Diagramm von Abbildungen

${\begin{matrix}D(f)&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&D_{+}(f)&\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Spek} {\left(R_{f}\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Spek} {\left({\left(R_{f}\right)}_{0}\right)}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

kommutiert. Dabei steht oben die eingeschränkte Kegelabbildung, unten die natürliche Spektrumsabbildung, links die Identifizierung aus Fakt und rechts die Identifizierung aus Fakt. Um die Kommutativität nachzuweisen, ist für ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}\in D(f)$ die Gleichheit

${}{\mathfrak {p}}^{h}\cap (R_{f})_{0}={\mathfrak {p}}\cap (R_{f})_{0}\,$

zu zeigen, wobei die Primideale in ${}R_{f}$ aufzufassen sind. Die Gleichheit beruht auf den Argumenten zu Fakt. Dadurch ist der Morphismus schematheoretisch auf ${}D(f)$ festgelegt. Die Morphismen ${}\operatorname {Spek} {\left(R_{f}\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left({\left(R_{f}\right)}_{0}\right)}$ zu verschiedenen ${}f$ sind miteinander kompatibel und legen einen globalen Schemamorphismus fest.

Zur bewiesenen Aussage