Graduierung/Diagonalisierbare Gruppe/Invariantenring/Zusammenhang/K algebraisch abgeschlossen Charakteristik 0/Fakt/Beweis

Beweis

Beide Ringe sind durch Monome erzeugt. Es sei ${}\nu \in K^{n}$ , ${}\nu _{1}d_{1}+\ldots +\nu _{n}d_{n}=0$ , ${}\nu \geq 0$

D^{\nu }\notin \chi (X^{\nu })=\chi \underbrace {(v_{1}d_{1}+\ldots +v_{n}d_{n})} _{=0}\cdot \chi ^{\nu }=X^{\nu }

umgekehrt:

Es sei ${}\underbrace {\nu _{1}d_{1}+\ldots +\nu _{n}d_{n}} _{\in \,D=K^{n}\times K/n_{1}\times \ldots \times K/n_{n}}\neq 0$

D^{\nu }=(K^{x})\nu \times \langle \xi _{n_{1}}\rangle \times \ldots \times \langle \xi _{n_{k}}\rangle .

Es gibt dann auch einen Charakter ${}\chi$ mit ${}\chi (d)\neq d$ .

\chi \cdot x^{\nu }=\underbrace {\chi (\sum _{i}\nu _{i}d_{i})} _{\neq d}{\text{ nach Wahl}}\cdot X^{\nu }

d.h. ${}X^{\nu }$ ist nicht invariant.