Graduierung/Diagonalisierbare Gruppe/Invariantenring/Zusammenhang/K algebraisch abgeschlossen Charakteristik 0/Fakt/Beweis

Beweis

Beide Ringe sind durch Monome erzeugt. Es sei $\nu \in K^n$, ${\nu }_1{d}_1+\dots +{\nu }_n{d}_n=0$, $\nu \ge 0$

$D^{\nu }\notin \chi (X^{\nu })=\chi \underset{=0}{\underbrace{(v_1{d}_1+\dots +v_n{d}_n)}}\cdot {\chi }^{\nu }=X^{\nu }$

umgekehrt:

Es sei $\underset{\in D=K^n\times K/n_1\times \dots \times K/n_n}{\underbrace{{\nu }_1{d}_1+\dots +{\nu }_n{d}_n}}\ne 0$

$D^{\nu }=(K^x)\nu \times ⟨{\xi }_{n_1}⟩\times \dots \times ⟨{\xi }_{n_k}⟩.$

Es gibt dann auch einen Charakter $\chi$ mit $\chi (d)\ne d$.

$\chi \cdot x^{\nu }=\underset{\ne d}{\underbrace{\chi (\sum _i{\nu }_i{d}_i)}}\text{ nach Wahl}\cdot X^{\nu }$

d.h. $X^{\nu }$ ist nicht invariant.

Zur bewiesenen Aussage