Graph/(u,v) nach u^2+uv-v^3/Von Tangentialvektoren aufgespannte Parallelotope/Aufgabe

Wir betrachten den Graph $M$ der Abbildung

φ : ℝ^{2} ⟶ ℝ, (u, v) ⟼ u^{2} + u v - v^{3},

als zweidimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des

ℝ^{3}

, also

M = {(u, v, u^{2} + u v - v^{3}) ∣ (u, v) \in ℝ^{2}}

mit der vom $ℝ^{3}$ induzierten riemannschen Metrik. Es sei

ψ : ℝ^{2} ⟶ M, (u, v) ⟼ (u, v, u^{2} + u v - v^{3}),

die zugehörige Diffeomorphie.

a) Bestimme das totale Differential zu $ψ$ sowie die Bildvektoren $T_{P} (ψ) (e_{1})$ und $T_{P} (ψ) (e_{2})$ in $T_{ψ (P)} M$ .

b) Bestimme für jeden Punkt der Form $P = (u, 0)$ den Flächeninhalt des von $T_{P} (ψ) (e_{1})$ und $T_{P} (ψ) (e_{2})$ in $T_{ψ (P)} M$ aufgespannten Parallelogramms.

c) Bestimme für jeden Punkt der Form $P = (0, v)$ den Flächeninhalt des von $T_{P} (ψ) (e_{1})$ und $T_{P} (ψ) (e_{2})$ in $T_{ψ (P)} M$ aufgespannten Parallelogramms.

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