Graph/(u,v) nach u^2+uv-v^3/Von Tangentialvektoren aufgespannte Parallelotope/Aufgabe/Lösung

a) Das totale Differential zu ${}\psi$ im Punkt ${}P=(u,v)$ ist

$\left(D\psi \right)_{P}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\2u+v&u-3v^{2}\end{pmatrix}}$

und es ist

$T_{P}(\psi )(e_{1})={\left(D\psi \right)}_{P}{\left(e_{1}\right)}={\begin{pmatrix}1\\0\\2u+v\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,T_{P}(\psi )(e_{2})={\left(D\psi \right)}_{P}{\left(e_{2}\right)}={\begin{pmatrix}0\\1\\u-3v^{2}\end{pmatrix}}.$

b) und c) Zur Bestimmung des Flächeninhalts berechnen wir zunächst die Skalarprodukte der beiden Vektoren ${}{\begin{pmatrix}1\\0\\2u+v\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\u-3v^{2}\end{pmatrix}}$. Es ist

$\left\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\2u+v\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\2u+v\end{pmatrix}}\right\rangle =1+(2u+v)^{2}=1+4u^{2}+4uv+v^{2},$

$\left\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\2u+v\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\u-3v^{2}\end{pmatrix}}\right\rangle =(2u+v)(u-3v^{2})=2u^{2}-6uv^{2}+uv-3v^{3}$

und

$\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\u-3v^{2}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\u-3v^{2}\end{pmatrix}}\right\rangle =1+(u-3v^{2})^{2}=1+u^{2}-6uv^{2}+9v^{4}.$

b) Für ${}P=(u,0)$ berechnet sich der Flächeninhalt des von ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$ aufgespannten Parallelogramms zu

${}{\sqrt {\det {\begin{pmatrix}1+4u^{2}&2u^{2}\\2u^{2}&1+u^{2}\end{pmatrix}}}}={\sqrt {(1+4u^{2})(1+u^{2})-4u^{4}}}={\sqrt {1+5u^{2}}}\,.$

c) Für ${}P=(0,v)$ berechnet sich der Flächeninhalt des von ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$ aufgespannten Parallelogramms zu

${}{\sqrt {\det {\begin{pmatrix}1+v^{2}&-3v^{3}\\-3v^{3}&1+9v^{4}\end{pmatrix}}}}={\sqrt {(1+v^{2})(1+9v^{4})-9v^{6}}}={\sqrt {1+v^{2}+9v^{4}}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe