Graph einer Funktion/Zweidimensional/EFG-Formel/Bemerkung

Es sei

${}M={\left\{(u,v,\psi (u,v))\mid (u,v)\in W\right\}}\subseteq W\times \mathbb {R} \,$

der Graph von

$\psi \colon W\longrightarrow \mathbb {R} ,$

wobei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine offene Teilmenge sei. In diesem Fall stehen Fakt und Fakt wie folgt miteinander in Beziehung. Die partiellen Ableitungen sind ${}{\begin{pmatrix}1\\0\\{\frac {\partial \psi }{\partial u}}\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\{\frac {\partial \psi }{\partial v}}\end{pmatrix}}$. Daher ist ${}E=1+{\left({\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right)}^{2}$, ${}F={\frac {\partial \psi }{\partial u}}{\frac {\partial \psi }{\partial v}}$, und ${}G=1+{\left({\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right)}^{2}$. Somit ist

$EG-F^{2}={\left(1+{\left({\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right)}^{2}\right)}{\left(1+{\left({\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right)}^{2}\right)}-{\left({\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right)}^{2}{\left({\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right)}^{2}=1+{\left({\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right)}^{2}\,.$