Graph einer Funktion/Riemannsche Untermannigfaltigkeit des R^n/Volumenform/Fakt

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und

$\psi \colon W\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion. Es sei

$M={\left\{\left(x_{1},\,,\ldots ,,\,x_{n},\,\psi (x_{1},\ldots ,x_{n})\right)\mid (x_{1},\ldots ,x_{n})\in W\right\}}\subseteq W\times \mathbb {R} \,$

der Graph von ${}\psi$.

Dann ist ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit, und für die kanonische Volumenform ${}\omega$ auf ${}M$ gilt

${}(\operatorname {Id} \times \psi )^{*}(\omega )={\left(1+\sum _{i=1}^{n}{\left({\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}\right)}^{2}\right)}^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen