Grenzwert/Funktion/cos x hoch 1 durch x/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}f(x)={\left(\cos x\right)}^{1/x}=\exp \left({\frac {1}{x}}\ln \left(\cos x\right)\right)\,$

und somit ist

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,\exp \left({\frac {1}{x}}\ln \left(\cos x\right)\right)$

zu bestimmen. Da die Exponentialfunktion stetig ist, müssen wir

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\ln \left(\cos x\right)}{x}}$

bestimmen. Sowohl die Zähler- als auch die Nennerfunktion besitzen den Grenzwert ${}0$. Wir können die Regel von Hospital anwenden und betrachten

${\frac {\frac {-\sin x}{\cos x}}{1}}.$

Dies konvergiert für ${}x\rightarrow 0$ gegen ${}0$. Somit ist auch

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\ln \left(\cos x\right)}{x}}=0\,$

und damit ist

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,\exp \left({\frac {1}{x}}\ln \left(\cos x\right)\right)=\exp 0=1\,.$

Zur gelösten Aufgabe